Trong chương trình toán trung học phổ thông thì bài toán nguyên hàm là một trong những dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi đại học. Tất cả các bài toán nguyên hàm và tích phân dù có phức tạp tới đâu thì sau khi biến đổi cũng sẽ trở về bảng nguyên hàm cơ bản. Vì thế, chúng tôi sẽ tổng hợp các kiến thức lý thuyết và bảng công thức nguyên hàm từ cơ bản tới nâng cao đầy đủ nhất giúp các em làm bài tập tốt hơn và tiết kiệm thời gian hơn.

I. Định nghĩa nguyên hàm là gì?

Trong bộ môn giải tích thì nguyên hàm của hàm số thực cho trước f là 1 hàm F có đạo hàm bằng f, tức là F’ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định, việc tìm 1 biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó khăn hơn so với việc tìm đạo hàm và không phải luôn luôn thực hiện được.

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập K và hàm số F sẽ được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên tập K khi F’(x) = f(x) và F(x) khả vi trên K với mọi x thuộc tập K.

1. Định lý của nguyên hàm

  • Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập K thì mọi nguyên hàm của hàm số trên F(x) nằm trên tập K sẽ đều có dạng F(x) + C với C là hằng số.
  • Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số  f(x) trên tập K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên tập K.

2. Các tính chất của nguyên hàm

Nếu g(x) và f(x) là 2 hàm số liên tục trên tập K thì:

Tính chất của nguyên hàm
Tính chất của nguyên hàm

II. Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ từ cơ bản đến nâng cao

Bảng công thức tính nguyên hàm là vô cùng quan trọng đối với các bạn học sinh lớp 12, đặc biệt là phần học giải tích. Dưới đây là tập hợp toàn bộ những công thức tính nguyên hàm cơ bản nhất hy vọng sẽ giúp các bạn hệ thống kiến thức và áp dụng vào làm bài tập tốt hơn.

1. Công thức bảng nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
Các công thức nguyên hàm cơ bản quan trọng cần nhớ

Bảng nguyên hàm chi tiết các công thức sau đây sẽ hỗ trợ bạn giải toán nhanh hơn. Những công thức này không có quy luật để nhớ, cách duy nhất để bạn có thể nhớ nhanh nhất chính là làm nhiều và sử dụng nhiều.

2. Công thức nguyên hàm từng phần

Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm số phức tạp như vừa chứa hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc chứa hàm logarit và hàm vô tỉ, hay hàm mũ,…

Cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:

Công thức nguyên hàm từng phần

3. Công thức nguyên hàm lượng giác